Correnti alternate

 Definizioni

 

Si esaminano le grandezze variabili e in particolare si studiano le grandezze sinusoidali, fondamentali per le applicazioni elettriche, a cominciare dalle f.e.m. generate dagli alternatori che forniscono l’energia elettrica.

Ad esempio un alternatore che possiede una sola coppia di poli produce una tensione sinusoidale in un giro completo della ruota polare. Con 50 giri al secondo (3000 giri al minuto) la frequenza è 50 Hz. Per produrre la stessa frequenza con velocità dimezzata occorre raddoppiare i poli di eccitazione.

Lo studio delle onde sinusoidali è alla base delle conoscenze relative a una forma d’onda qualsiasi. Infatti, in generale, qualunque forma d’onda periodica si può sempre scomporre in un numero finito o infinito di sinusoidi, di opportuna ampiezza, frequenza e fase, secondo il teorema di Fourier (v. fig.3).

Grandezze variabili: modificano nel tempo il loro valore.

Grandezze unidirezionali: in ogni istante le grandezze hanno sempre lo stesso segno.

Grandezze periodiche: sono grandezze variabili che ripetono l’andamento e la successione di valori ad intervalli di tempo costanti. Tale intervallo di tempo viene detto periodo T e si misura in secondi.

Si definisce

frequenza il reciproco del periodo, cioè il numero di volte al secondo che si ripete la grandezza periodica

Se il periodo è T = 2 s, la frequenza è f = 1/2 = 0,5 Hz

Grandezze non periodiche: modificano nel tempo il loro valore come ad esempio i segnali esponenziali (crescente e decrescente), a gradino, a rampa, tipici segnali di eccitazione per lo studio del comportamento di un sistema.

Grandezze alternative: sono particolari grandezze variabili, periodiche, la cui somma algebrica dei valori assunti in un periodo è nulla (i valori istantanei positivi formano, con l’asse dei tempi, un’area equivalente a quella analoga di segno opposto formata dai valori negativi: le due aree si compensano esattamente).

Grandezze alternative sinusoidali: sono grandezze alternative variabili con legge sinusoidale, con rappresentazione  trigonometrica del tipo

in cui:


- y(t) = valore istantaneo (che cambia ad ogni istante)

-

si ottiene la pulsazione

- sin = funzione sinusoidale

- φ = costante di fase o semplicemente sfasamento, espresso in radianti.

Nelle grandezze sinusoidali (che essendo alternative hanno l’area positiva uguale a quella negativa), il valore medio in un periodo è nullo.

Le grandezze sinusoidali possiedono le seguenti proprietà:

1)                      la somma di due o più grandezze sinusoidali con stessa frequenza fornisce ancora una grandezza sinusoidale;

2)                      applicando la derivata ad una funzione sinusoidale si ha ancora una forma d’onda con stesso andamento (anche se sfasata di 90° in anticipo e di ampiezza ω volte maggiore).

Grandezze non alternative sono quelle il cui valore medio relativo ad un periodo è diverso da zero.

 

1_Valore medio di una grandezza alternativa

Con riferimento alla fig.1 che riporta, come esempio,  una semionda di una grandezza sinusoidale, il valor medio scaturisce dalla media dei valori che la grandezza assume in quella semionda (il valore medio esteso al periodo risulterebbe nullo).

Intanto il valor medio è una costante ed è l’altezza del rettangolo, la cui base è il semiperiodo o l’angolo π, a seconda delle ascisse considerate. L’area di questo rettangolo deve coincidere con quella sottesa dalla sinusoide e determinabile approssimativamente con la costruzione dei rettangolini di fig.1 oppure con il calcolo rigoroso dell’area attraverso l’integrazione.  Dal confronto fra le due aree si calcola il valor medio convenzionale.

       

Questa conclusione, come risultato numerico, vale esclusivamente per sinusoidi, mentre l’espressione (4) è valida in generale per grandezze alternative. *

Il valore medio è importante ad esempio nelle applicazioni elettrolitiche, quando le correnti in gioco sono correnti raddrizzate unidirezionali.

 

Per grandezze periodiche, ma non alternate, il valore medio viene calcolato in un periodo dopo aver invertito il segno della parte negativa.

 

La componente continua: è quel valore costante della grandezza in esame (tensione o corrente) ottenuto dal risultato della divisione tra la somma algebrica delle aree positive e negative in un periodo e il periodo stesso.

Nel caso in cui la grandezza non ha aree negative la componente continua coincide numericamente con il valore medio. Se vi sono aree negative la componente continua  è invece minore rispetto al valore medio nel periodo.

Figura 1) Valore medio convenzionale di una grandezza sinusoidale, che scaturisce dall’equivalenza fra l’area della semisinusoide e quella del rettangolo equivalente, secondo la (4a).

 

2_Valore efficace di una corrente periodica (e in particolare di una grandezza sinusoidale)

E’ quel particolare valore che dovrebbe assumere una corrente continua circolante nell’identico circuito (una resistenza) per creare, in un medesimo intervallo di tempo, lo stesso effetto termico.

In sostanza se una corrente alternata ha valore efficace di 10A e percorre una resistenza per un certo tempo, produce una ben definita energia termica, identica a quella che produrrebbe una corrente continua di 10A, che attraversasse la stessa resistenza nello stesso intervallo di tempo.

Analoga definizione vale per il valore efficace di una tensione alternata.

Il valore efficace si indica con lettera maiuscola come si indicano, in continua, una tensione o una corrente. E’ noto come RMS value (root mean square or effective value).

 

Si confrontano l’energia termica prodotta dalla grandezza costante e quella prodotta dalla grandezza variabile e dissipata nella stessa resistenza R, ad esempio in un intervallo di tempo che corrisponde al periodo T della grandezza variabile.

Come in fig.1 si può dividere l’intero periodo T della grandezza in esame in ‘n’ piccoli intervalli di tempo Δt e per ognuno definire il valore medio della grandezza (relativa a quell’intervallino), calcolare l’energia persa dalla resistenza in ogni intervallino e poi farne la somma:

in cui ‘I’ è il valore efficace della corrente alternata, ovvero quello della corrente continua, termicamente equivalente.

Se si desidera il rigore occorre sostituire alla sommatoria l’integrale esteso al quadrato della corrente in esame, espressa con una equazione ad esempio del tipo

Dopo la sostituzione si ricava infine che il valore efficace della corrente in esame

 

si ottiene, come definizione matematica, dalla media aritmetica della curva dei quadrati di tutti i valori istantanei in un periodo, risultato a cui occorre ancora estrarre la radice quadrata.

Il valore efficace è quello misurato dagli strumenti analogici la cui coppia motrice dipende dal quadrato del valore istantaneo della corrente che percorre la bobina dello strumento. Uno strumento a bassissima inerzia potrebbe seguirne l’andamento, mentre in generale ciò non può accadere. Per esempio, alla frequenza di 50 Hz, viene rilevata la coppia motrice media, media dei quadrati dei valori istantanei. In tal caso la coppia motrice strumentale è legata al quadrato del valore efficace.

Il valore efficace caratterizza lo sviluppo di potenza in una resistenza, come si è visto nella definizione sopra riportata.

 

3_Fattore di forma

E’ il rapporto fra il valore efficace e il valore medio della grandezza in considerazione.

Riprendendo in esame ancora una grandezza sinusoidale si avrà, in particolare, il seguente risultato:

Per fattori di forma diversi da 1,11 la grandezza in considerazione non sarà dunque una sinusoide.

 

4_Esempi

1) Calcolo geometrico del valore efficace di una grandezza sinusoidale

Applicando la definizione matematica di valore efficace si procede così:

-         si rappresenta,  al variare del tempo (o dell’angolo), la funzione periodica di cui si vuole calcolare il valore efficace (in fig.2 la sinusoide di ampiezza YM);

-         se ne costruisce la curva dei quadrati dei valori istantanei (in figura la curva di ampiezza YM2);

-         si determina il valor medio della curva dei quadrati dei valori istantanei (in figura cade esattamente a metà altezza del valore massimo dei quadrati);

-         si determina finalmente il valore efficace estraendone la radice quadrata.

 

N.B.: Il procedimento suddetto vale in generale, per qualunque forma d’onda periodica, mentre il seguente risultato, riferito alla fig.2,  vale esclusivamente per grandezze sinusoidali del tipo

ossia per tali sinusoidi il valore efficace è dato dalla relazione

Figura 2) Determinazione grafica del valore efficace di una sinusoide di ampiezza YM.

 

Allo stesso risultato si giunge naturalmente applicando la definizione matematica proposta dalla relazione (5).

 

Dalla (6) si risale al valore massimo, noto quello efficace:

 

che è importante ai fini del dimensionamento dell’isolamento, riferito alle tensioni.

Quindi se si misura una tensione efficace di 230 V occorre ricordare che, con grandezze sinusoidali, il valore massimo della tensione agente è di 325V e a tale valore occorre fare riferimento per lo spessore degli isolanti sollecitati.

 

2) Calcolo analitico del valore efficace di una grandezza periodica

Data la funzione periodica alternativa s(t) di fig.3, che per il teorema di Fourier può scomporsi in una fondamentale di ampiezza unitaria, una terza armonica di ampiezza 0,2 e una quinta armonica di ampiezza 0,1, tutte con fase nulla, il valore efficace può ricavarsi anche qui nei due modi:

a)      costruire la curva dei quadrati della curva di partenza “s(t)”, tracciare la media della suddetta curva e poi estrarne la radice quadrata;

b)      applicare la definizione matematica che in questo caso è espressa dalla formula

ovvero

L’unità di misura è ovviamente quella della grandezza periodica che si sta rappresentando (una tensione o una corrente).

Il valore efficace di una grandezza non sinusoidale risulta quindi espresso dalla radice quadrata della somma dei quadrati dei valori efficaci delle singole armoniche.

 

Figura 3) La funzione alternativa s(t) è scomponibile, con Fourier, nella fondamentale y1 e nelle armoniche y2 e y3. Il valore efficace si determina graficamente, ma anche con la definizione (8).

Per il tracciamento delle curve di fig.3, per la determinazione dei quadrati dei valori istantanei e per la loro media aritmetica si può utilizzare EXCEL facendo variare il tempo, sulle ascisse, da 0  a 20ms (essendo 50Hz la frequenza della funzione s(t)) e con intervalli molto brevi nell’arco del periodo, onde evitare di avere approssimazioni grossolane sul valore medio e conseguentemente sul valore efficace.

Altrimenti si applica la definizione matematica fornita dalla relazione (5) per la forma d’onda risultante (ad esempio mediante Mathcad).

 

3) Calcolo dei valori efficace e medio di una grandezza periodica per via grafica

Nota la grandezza periodica, non alternativa, di forma rettangolare di ampiezza Y=1,5V e durata pari a 1/3 di periodo, se ne determinino graficamente il valore efficace e il valore medio (fig.4).

-         Si costruisce la curva dei quadrati dei valori istantanei e si ottiene la curva y2 ;

-         si calcola, ad esempio in un periodo, la media aritmetica di y2, ottenendo, come in fig.4, il valore di 0,75 (le aree al di sopra e al di sotto del valore medio dato dalla linea tratteggiata sono equivalenti);

-         se ne estrae la radice quadrata ottenendo come valore efficace 0,866V, se si è trattato di una tensione come proponeva l’intestazione.

Figura 4) Esempio che si presta a determinare in modo semplice il valore efficace e il valore medio di una grandezza periodica, in questo caso dell’onda rettangolare y.

Il valore medio della grandezza in esame, deducibile sempre graficamente, è di 0,5V come si può facilmente verificare.